思维之海

——在云端,寻找我的星匙。

初级幻想学

初级幻想学。

纯粹幻想学

幻想空间:一个由幻想、联想、现实组成的幻想集。
子幻想空间:如果一个幻想集被包含于另一个给定的幻想空间,则称其是给定幻想空间的子空间。

纯粹幻想学研究最基本的幻想空间,即,不考虑任何的联想,而单纯地研究幻想、现实两者。

纯粹幻想学的研究对象将具有极其简洁的结构。这些最基本的幻想空间都归类为纯粹幻想空间

孤立:幻想空间中,一个没有任何联想与之相关联的幻想,称为孤立幻想。

纯粹幻想空间的任意幻想都是孤立的。

幻想生成元:某些作为生成幻想空间的所有幻想的基底幻想。

光凭定义可能不好理解,举一个例子:

基底幻想:$A,B,C$。联想群$I$:$f:A\rightarrow D;g:B\rightarrow E;h:E\rightarrow F$。
由联想群$I$根据基底幻想生成幻想空间S为:$A,B,C,D,E,F,f,g,h$。($C$是孤立幻想)

由于联想的概念通常包含了其两端的幻想,我们容易得出推论:一个没有孤立幻想的幻想空间,可以完全由一阶联想来覆盖描述其中的幻想。但为了统一概念,我们规定,幻想空间必须至少具有一个幻想生成元

显然,任意的幻想生成元可以视作一个纯粹幻想空间。

纯化:我们把求任意幻想空间的最小幻想生成元的过程称为幻想空间的纯化。

最小幻想生成元的更严谨定义:幻想空间中的所有0入度幻想。(度的概念详见等度联想群 部分)
特殊地,当没有0入度幻想时,任意选取一个0度幻想作为生成元即可。

纯化的结果不一定唯一。

一个简单的纯化算法描述如下:

  • 将所有联想都变换为对应的逆联想
  • 从每一个幻想出发,进行一次BFS,获得所有停止节点(不能继续进行搜索的节点)
  • 保留停止节点数目最小的一次结果,即为纯化后的幻想空间

设节点数为$N$,有向边数为$V$,则算法的复杂度为$O(NV)$。

更高效的算法是:($O(max(N,V)$)

  • 对每一个0入度的幻想(记共有$a$个),做DFS,并标记掉被搜索到的点
  • 查询剩余的连通分量数(仍然采用DFS,记为$b$个),从每一个分量中选取一个幻想
  • $a+b$得到纯化结果

如果是无环幻想空间,则可以直接采用拓扑排序。

纯度:纯化后幻想空间的幻想数与原空间幻想数的比值,称为原幻想空间的纯度。纯度在$(0,1]$之间。

例:幻想空间S:$A,B,C,D,E,F;f:A\rightarrow D;g:B\rightarrow E;h:E\rightarrow F;n:C\rightarrow C$。
S纯化后得到:$A,B,C$。S的纯度:$3/6=50$%。

纯度是很有用的一个衡量指标,实际中在大多数领域,其幻想空间的纯度能够反映该领域的发展程度。
一般来说,纯度越高,领域越新颖、原始;纯度越低,领域越成熟、发达。比如,欧式几何理论上可以由五大公理幻想生成,纯度很低;监督学习模型往往需要大量的数据幻想和相对简单的联想群,纯度很高。

联想规则

初等联想

特征联想

特征联想,由给定的现实与想界之间诱导产生的联想,亦即潜意识联想或潜联想

特征联想与身体机能的非条件反射、条件反射相关(如感觉器官的天赋等)。以人为例,这类联想往往是先天禀赋或者由潜意识支配的后天禀赋,几乎不经过大脑思考的联想。

比如,感到饥饿,则联想到需要进食;感到口渴,则联想到需要补充水分;以及著名的巴普洛夫的狗,摇铃,则流口水(望梅止渴)。

我们规定,平凡联想$n$属于特征联想。

随机联想

随机联想,由给定的现实与想界之间随机产生的联想。

计算机的伪随机数生成器就是一个比较接近的例子,由种子(现实)产生伪随机数(伪随机幻想);我们不妨假设存在一个真正的随机数生成器,那么就能产生随机联想了。

联想群

普遍而言,现实、幻想的数量很庞大,联想规则则相对较少。因此,首先研究联想规则,即,从幻想集中选取具有联想规则特性的元。

联想群简单来说,是那些组成一个群、具有某种结构的幻想集的联想结构。显然,联想群是一个比较复杂的概念。

一般不强调和区分幻想集和其蕴含的联想群。比如,幻想集也叫幻想群。

特征联想群

特征联想群:一个联想集中的所有联想指向同一个幻想,这样的联想集称为关于该幻想的特征联想群,该幻想称为其的特征

特征联想群和特征联想不一定相关,其也不一定由特征联想组成。

循环联想群

等势联想:如果两个复合联想所联系的幻想完全一致,称两者等势。

例:联想$“f:A-›B-›C-›D”$与联想$“g:A-›M-›D”$等势。

一般地,我们用记号$“f=g”$来表示$f$与$g$ 的等势关系。

环联想:若一个复合联想与对应平凡联想等势,则称该复合联想为一个环联想。

一个环联想作为整体的表现会很像一个孤立幻想。
例如,实数的连续性幻想:单调有界-闭区间套-有限覆盖-聚点定理-致密定理-柯西收敛-确界存在-单调有界。

若一个幻想空间完全由一个幻想生成元和一个联想集生成,该幻想空间称为单幻想空间
进一步,若该幻想空间存在环联想,该幻想空间称为有环单幻想空间
若联想集的任意联想均包含于环联想,则该联想集称为关于该有环单幻想空间的循环联想群

注意,上述“单、有环、群”等概念可以复合,也可以分离使用。

等效群:如果两个幻想群的纯化有交集,且所连接的任意一个幻想相同,并且幻想群与其联想的方向相同,那么称这两个幻想群等效。

等效群是一个外部性的概念,无论群的内部结构如何(黑盒),只要它们对环境的联想特征一致即可。

环纯化:将任意一个有环幻想空间中的所有环联想等效为单个幻想的过程,称为幻想空间的环纯化。

环纯化是不彻底的纯化。相对纯化而言,保留了幻想空间的更多推导结构。
环纯化是一个比较理想的使幻想空间从有环过渡到无环的方式。

可逆联想群

逆联想:对于任意一个联想$ f:A \rightarrow B$,称$ f^{-1}:B \rightarrow A$为该联想的逆联想。同时,称该联想可逆

联想规则有类似的定义。即,逆联想规则。
逆联想是非常重要的联想规则。它与想界形成学联系紧密。

一个推论:两个等势可逆联想等价于一个可逆环联想。

我们容易推出逆多方联想、逆复合联想等更多概念。

比如:$[f,g] (C)=(A,B)$ $\rightarrow$ $[f,g]^{-1}(A,B)=C$。(逆多方联想)
以及:$f(g(D))=E$ $\rightarrow$ $ g^{-1}(f^{-1}(E))=D$。(逆复合联想)
为了简便起见,我们将不再强调”逆“,将上述概念统称为多方联想和复合联想。

可逆联想群:对于任意一个联想群,若其中的每一个联想都可逆,则称其为可逆联想群。

在没有特殊说明的情况下,我们默认特征联想群一定也是可逆联想群。

连通联想群

连通联想群:若联想群中从任意一个幻想到任意一个幻想之间均存在至少一个复合联想,称其为连通联想群。

特征联想群、循环联想群一定是连通联想群。

等度联想群

等度幻想:给定幻想空间,若两个幻想所连联想数量一致,则称两者等度。

幻想所连联想数量称为幻想的度。当区分联想的方向性时,则进一步分为入度、出度。
我们规定,平凡联想不计入幻想的度。

等度联想群:若联想群中幻想两两等度,称其为等度联想群。

循环联想群一定也是等度联想群。

均衡联想

均衡联想,即均衡联想群自然群,它的目的是要尽可能使得已有的想象空间具有某种意义上的“饱满性”。

均衡联想具有特殊的意义,我们通常认为自然的思维方式中一般伴随着均衡联想。

一个均衡联想必须至少具备以下的性质:

  • 连通
  • 可逆
  • 其它局部或全局的特殊性质(特征、循环、等度、充盈……)

于是我们可以作如下定义——

均衡联想:如果一个联想群连通、可逆,则称其为均衡联想或自然群。

均衡闭包:给定一个联想群,在添加最少数量的联想后,若其变为均衡联想,则称该均衡联想为原联想群的均衡闭包或自然闭包。

均衡闭包一般是不唯一的。

类联想

类联想涉及到幻想空间的发展问题。

比如,对于任何接受的信息,最开始都是以幻想的形式直接被感知的,但在某些机制的作用下,一些幻想演变成联想,联想产生了更复杂的幻想空间……这就是幻想空间的发展问题。

我们试图寻找一些具有联想性质的幻想。尽管在目前看来这些幻想还不是真正的联想,但在某些条件下,这些类联想的潜力也许能被发掘出来。

通常认为,类联想与人类进化史中智力爆发的起源有关。

联想空间

联想图

当我们同时考虑多方联想和复合联想,并将幻想空间的结构以复杂的图的形式表现出来,便形成了联想图。

联想图可以由多样的表现形式,但联想图的目的是确定的:直观化幻想空间。
联想图通常可以解构为多方联想和复合联想的有机体。

注意,联想图不一定是二维的,复杂的联想图可能具有很高的维数。但此时联想图的直观性会变差,应该采用其它方式综合分析。

一阶联想图将退化为知识图谱

联想空间

联想空间:对任意给定的幻想空间,仅保留其中所有的联想,所得到的新空间是其对应的联想空间。

联想空间又称为相应幻想空间的导空间。一个联想空间往往可以对应多个幻想空间。

若将联想空间视为新的幻想空间,且仍然可导,则可以得到高阶联想空间(高阶导空间),相应有高阶联想

高阶联想,可以理解为“联想的联想”。
可导,即存在联想。在新的幻想空间,原空间的联想退化为幻想,原空间的高阶联想降一阶。
特殊地,规定:当幻想空间无联想,则其导空间化为空想界。

必须指出,在目前的人类社会中,已知的通用高阶联想极其稀少。

我们在高级幻想学 部分将详细介绍几个高阶联想:演绎法、归纳法、辩证法等;以及相应的次高阶联想:演绎联想、归纳联想、辩证联想……
在此不妨举一个更具体的例子说明,以便加深理解。如下面的联想图:(例子来源于Here

高阶联想示例

上图的含义说明:

  • (A)是(B)的。(f)
  • 弹子球(R)在击打球杆的时候移动(M)。(u)
  • 所有冰(C)都是(D)的。(h)
  • 所有弹子球(P)都在击打球杆的时候移动(Q)。(v)
  • 12为两个特定的归纳联想(二阶联想),&记号则表示归纳法(三阶联想)。

值得注意的是,二阶联想的通用化过程中,使用了三阶联想。这一点可能较难理解(回顾特征联想群)。
另外,联想的阶数与具体的幻想空间定义有关,并不固定。

联想丰度:对于任意的幻想空间,$k$阶联想量占幻想空间的$k$阶最大联想量的比例,称为该幻想空间的$k$阶联想丰度。联想丰度又称饱和度

联想丰度在$[0,1]$之间。$k>0$,取整数。
当考虑多阶幻想空间时,可依次确定一阶、二阶……直至任意高阶联想丰度。

容易得出,联想空间随着阶数的增高,其最大容量会呈指数级增加
对于自然常见的幻想空间,一般来说,其联想丰度随阶数递增迅速趋于0

充盈:对任意的幻想空间,若它的1到$k$阶联想丰度均为1,则称其具有$k$阶充盈。

时间

我们将在此节试图说明,时间可以看作空间的导空间

为了简便,这里我们只考虑单维时间。

首先,对于任意给定的一个三维的(幻想)空间(这样一个空间我们记作S)。

显然,S是天然静态的。

我们再假设一个类似的三维幻想空间R

并且,我们预设S、R均是某个连续时空中截取的一个静态空间。

那么S、R之间存在的联系,就由复合联想$t_1:S\rightarrow U_1\rightarrow R$确定。

其中,$U_1$可以认为就是我们观念中对于时间的幻想(可进一步展开)。

在连续时空中,给定空间$S$,对于任意的$R$,我们均能找到对应的复合联想$t_k:S\rightarrow U_k\rightarrow R$。

并且,由于R可以连续取,$t$也将具备连续性——$t$将形成一个新的维(联想规则):$T$。

我们称$T$为基于$S$的时间维,$S$称为$T$的基。

一般来说,对于任意的$U_k$,我们都能用$U=U_k$来代替。于是得到$T:S\rightarrow U\rightarrow R$。

也就是说,时间维$T$是四维时空$(S,R,…)$的一个特征联想群,$U$就是时间$T$的特征

在这样的认识基础上,我们将能更清晰地认识到时间的本质,以及高维世界的规律。

比如,对于一个n维空间$\Phi$,我们可以利用类似的方法,对n维空间$\Phi$的任意一个维度$X$进行分析,可知$X$总可以当作对应n-1维空间$\Phi -X$的特征联想群。可见,高维空间本质上是由一层层特征联想群逐步建立起来的。

习题

  1. 联想$f$,$g$,幻想$A$。已知:$g$可逆,$f(g^{-1}(A))=n(A)$。求证:$f=g$。($n$是平凡联想)

  2. 已知幻想空间S的组成为:$A,B,C,D,E;f,g,h;u,v;w;N$;并且,S满足:$f(A)=C$,$g(B)=D$,$h(n(E))=A$,$[u,v] (f)=(g,h)$,$w(u)=v$。($N$是一阶平凡联想规则)

    (1) 试求S的任意阶饱和度以及对应的联想空间、联想图。(联想丰度为0时,联想空间用$\emptyset$空集表示)

    (2) 求S的一阶均衡闭包。(保证一阶联想构成自然群)

    (3) 纯化S并求其纯度。

  3. 试根据现实中某领域,自行构建一个幻想空间,并尝试利用计算机编程求解各阶联想空间、联想图。

  4. 事实是,并非所有的幻想空间都可以如我们所期望的一样生成某阶联想空间。
    比如,一个幻想可能与联想之间形成联想,这样的联想既不严格属于一阶、也不严格属于二阶联想。尽管在大多数我们不讨论这样的非正规情况(有视界的要求),但我们也有如下的扩展定义:对任意的联想,若它的两个幻想分别属于ab阶,则联想属于$\left(\cfrac{a+b}{2}+1\right)$阶。
    (1) 试证明:对于扩展定义,联想 ‎≥ 1阶以及联想 ‎≥ 至少一个幻想的阶

    我们通常也可以采用一些手段来使得非正规联想图正规化。比如下面这个例子:

    (2) 尝试分析:左侧绿色的非正规联想是怎样转换为右侧紫色的正规联想的?以及,如何推广?

    以下是一个更复杂一些的例子,来帮助你思考。(提示:递归)

    这样的正规化似乎会使得联想图变得相当复杂和充盈(哪怕只是上例中的0-2阶联想)。
    若我们希望得到比较简单的联想图,当联想图比较充盈的时候,进行上述的逆过程,则能得到联想的较为简洁的表达形式,这样的形式往往有助于我们直观地理解联想图的内部构造。这个逆过程称为联想图的折叠

    (3) 尝试折叠下图所示的联想图:(解释你所观察到的方法和现象)

    (4) 如果你还有兴趣,可以继续深入思考非正规联想的本质。(在高级幻想学-想界形成学 中我们将进一步讨论)