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抽象代数基础

近世/抽象代数研究代数系统,即带有运算的集合。在普通代数中研究对象是数的四则运算,而在近世代数中,对象可以任何东西,比如向量、矩阵、线性变换。近世代数是高等物理的基础。高等代数中的是最基本的三个代数系统。

References

近世代数基础-张禾瑞 教材

近世代数,北京师范大学-张秀平 课程

张老师的其它课程(数论图论组合数学)。(More

抽象代数(邓少强)

群论与808017424794512875886459904961710757005754368000000000

代数系统

集合

集合:若干个固定事物的全体叫做一个集合(集)。

空集:一个没有元素的集合叫做空集合。

空集是非空集的真子集。

:从若干个集合中,按集取出的所有元素有序组的集合,称为集合的积。

每次每个集合取出一个。又称笛卡尔积。有序,其实就是保留集合的编号,是对取出元素的一种标记。

积运算相当于抽取每个集合的特征,形成全特征元,这些元构成了一个特征空间。可以称作特征积

积运算可以快速生成高维空间。

映射

映射:通过某种法则f,如果A空间的任意元$\longrightarrow$都对应唯一D集的元,则f称为对应空间到D的映射。

与通用联想规则的定义一致。但,映射广泛来讲既可以是单独的联想,也可以是一个联想规则。

映射的等价与幻想空间的等价是一致的。不考虑具体的描述/定义,而至考虑它们的效果是否相同(即,是否对于每一个元,连接着唯一、相同的象)。

映射比如代数运算,可以用来快速压缩空间,从而产生低维空间。但积也是一种映射,因此映射的用途广泛。

单射:映射的象互斥。

满射:映射的象充满。

根据映射的定义,逆映射一定是满的。

一 一映射(双射):若映射单射+满射,则称为一 一映射。

证明思路:(1)是映射(任意有象,且象唯一);(2)是单射(逆否);(3)是满射。

变换:一个AA自身的映射称为A的变换。

同理有单变换、满变换和一 一变换。
(但显然一个变换如果是满的,一定是单的;其它也一样。因此实际都是一 一变换)

代数运算

代数运算就是一个特殊的2->1映射。

代数运算:映射$A\times B\longrightarrow D$,称为A X BD的代数运算。

上图中有一个膨胀-收缩的过程。膨胀的部分是积运算,收缩的部分是代数运算。
但是一般也将这个过程统一称为代数运算。

可以通过规定运算表/矩阵,来规定一般化的代数运算。
自动状态机的原理,状态转移就是一种代数运算)

二元运算

二元运算:若AXAA的代数运算,则称A的代数/二元运算。又称A封闭

例:对于整数域,+-*是二元运算,\不是。

对于向量、矩阵等也有类似结论。

一个具有代数运算的集合称为一个代数系统

(可以看出,积空间常常被用作辅助空间,可以很方便地表示多方联想)


一个代数运算想要运用到实际中,往往需要遵循一些基本规律。这可以看作代数运算的联想规则(二阶)。

比如D的被映射的元应该尽量饱满。

结合律

第二类数学归纳法可证,若推广到n元,任意加括号不影响结果。(一般来讲,证明的形式是递归的)

例:(通过一一验证,可知(1)不满足,(2)满足)

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当元素个数很多的时候,可以找规律。

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  • 先确定有a参与一定满足,然后只须验证16种。最后运算满足结合律。

注意到每一个括号都对应着一个不同的积空间,因而对应着不同的膨胀-收缩路径。
故,结合律就是复合联想与路径无关的假设。(有势)

交换律

利用归纳法可证,一旦同时满足交换律和结合律,则运算就完全失去了次序

交换律成立的充要条件是运算矩阵对称。

可以这样思考,一般的积空间是有序组,也就是排列积空间
而满足交换律的运算,其辅助空间只须是组合积空间

交换律和结合律没有必然联系。(例如,f(x,y)=1/(x+y)可交换不可结合,矩阵乘法可结合不可交换)

分配律

分配律描述的是两种代数运算发生关系的一种规律。

分配律改变了两种运算的先后顺序,因此其本质是运算的交换律。(运算就是联想规则。比较难想。。)

显然,元素可交换和运算可交换是不同的。并且运算的交换律受到元素的交换律的制约。

同态

同态衡量的是两个代数系统规律的相似性。


同态映射:给定映射f,若A中代数运算的象,对应等于象A象代数运算,则称f为同态映射。

先运算再找象,先找象再运算,两者等价。(运算也要取象)

证明思路:(1)是映射(任意有象,且象唯一);(2)同态方程:$\phi(a\,○\,b)=\phi(a)\,\bar○\,\phi(b)$。

同态映射反映了两个代数系统的被映射部分的局部相似性(即同种规律在不同体系下的表示)。

同态满射:若同态映射是满射,则称为同态满射。

若两个代数系统间存在同态满射,称两个代数系统同态。(不引起混淆时可以不强调关于运算,然而很容易引起混淆好吧orz

显然,同态满射可以保证从原代数系统中完全地推出象代数系统的规律。(但可能会有所压缩)
比如,若具有结合律(交换律),则象○'也一定具有结合律(交换律)。分类律也有类似定理。

同构

同构映射:若同态映射是单射+满射,则称为同构映射。

若两个代数系统间存在同构映射,称两个代数系统同构。(记作$A\cong\bar A$)

显然,同构映射保证了原代数系统和象代数系统的规律是完全一致的(仅仅是表示不同)。

例:$(R,x,+)\longrightarrow (R^+,e^x,\times)$同构。

自同构:给定代数运算,一个AA自身的同构映射,称为A关于的自同构。

同态、一一,则同构。注意,这里只有一个运算,一张运算表。

等价

关系:设B是布尔集,映射$A\times A\longrightarrow B$,称为A上的一个关系。

当映射到真,则符合关系;映射到假,不符合关系。

显然关系是一种代数运算。(逻辑运算)

等价关系自反对称传递的关系称为等价关系。

自反:$\forall$a~a

对称:a~b$$\Longrightarrow$$b~a

传递:a~bb~c$$\Longrightarrow$$a~c

分类:把一个集合A划分成多个子集()。

并为全,交为空

一个分类充要地决定了A上的一个等价关系。

分类和积运算有一定的相似性。

例:$a\equiv b(n)$同余关系、模n剩余类。

代表:一个类中的任意一个元称为类的一个代表。从每个类选一个代表,构成全体代表团

一个全体代表团又回到了组合积空间的一个元素。

群,就是一个按照(代数)规则设计的自恰推演系统。

群中的任何事件必有因果,但群的演化结果与事件的发生顺序无关。

群的演化空间有势。

例:1*2*3*4*5是普通乘法群中的一个复杂事件,形如X*Y称为群的一个推演/事件,而从1*2*3*4*5120称为群的演化。显然,事件发生的顺序与演化结果无关(这就是结合律)。

群只有一种代数运算。为了简便,一般直接将群的运算称为群的乘法

第一定义):一个关于乘法运算的非空集合G称为群,当具有以下三个性质:

  • 乘法封闭(在G上的二元运算)
  • 乘法结合
  • 乘法逆封闭:$\forall a,b\in G,\,\,ax=b\,和\,ya=b\,在G中有解$

例:G包含一个元g,乘法是gg=g

左单位元:群G中,$\exist\, e\in G,\, \, \text{s.t.}\, \,\forall a,\color{red}{ea=a}$,称为G的左单位元。

证明:根据逆封闭性,任意b有eb=b,任意a有bc=a。根据结合性,则任意a有ea=e(bc)=(eb)c=bc=a

左逆元:群G中,$\,\forall a,\exist\, a^{-1}\in G,\, \, \text{s.t.}\, \,\color{red}{a^{-1}a =e}$,称为G的左逆元。

证明:根据逆封闭性,ya=e有解,记y=a'即可。

根据结合律可知,左逆元也是右逆元,左单位元也是右单位元

第二定义):一个关于乘法运算的非空集合G称为群,当具有以下四个性质:

  • 乘法封闭
  • 乘法结合
  • G存在单位元
  • G中任意元都存在逆元

有限群(第一定义):群的元的个数有限。其个数称为有限群的

交换群:满足交换律的群。

特殊元

单位元:在一个群G中,存在唯一的元e,使得ea = ae = a

(元):在一个群G中,任意的元a存在唯一的元a',使得a'a = aa' = a

对群G的一个元a,能够使得$a^m=e$的最小正整数m,称为元a。若m不存在,称为无穷阶。

例:

  • 有理数(Q,+),单位元是0,则0的阶是1,非零元素的阶都是无穷。
  • $x^3=1$的三个根对于普通乘法构成群,三个根的阶分别是1,3,3

消去律

消去律

利用逆元可证。

推论:$\forall a,b\in G,\,\,ax=b\,和\,ya=b\,在G中有{\color{red}{唯一解} }$。

矩阵乘法没有消去律(但可逆矩阵构成群,因而有消去律)。利用消去律可以推出有限群的另一定义。

有限群

有限群(第二定义):一个关于乘法运算的有限非空集合G称为有限群,当具有以下三个性质:

  • 乘法封闭(在G上的二元运算)
  • 乘法结合
  • 乘法消去

有限群似乎有很强的性质。。

根据我们积累的关于群的性质,可以确定运算表的一些模式/必要条件。
比如,单位元保证了表里一定有一行、一列元素与坐标元素轴按位相同;消去律保证了全体的元在每一行、每一列出现。(疑似幻方?但并不是。数独?)可惜结合律不易在表中看出。

群同态

同态传递

同态传递GG'关于它们的乘法同态,则有 G$$是群\Longrightarrow$$G'是群。

证明思路:结合律之前就证过可以同态传递,只须证封闭、逆封闭(或封闭、单位元、逆元)的规律也成立。

注意,GG'同态是指G同态满射G'。反过来是不成立的。(这也太容易混淆了orz

同样G'推不出G群:G={全体奇数,普通乘法}G'={e}。可构造同态满射x->e。然而G不是群。

显然,群也是一种规律

群的同态把单位元映到单位元,逆元映到逆元

利用同态传递,可以通过已有的群,快速地判断一些特殊的构造性代数系统是否是一个群。

比如,之前的一个例子:(A={a,b,c}

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我们知道,(全体整数,普通加法)构成一个群G,现在我们只需要构造一个GA的同态满射就行了。

f为:(模3同余类)

f显然是满射。验证f同态即可。($f(a\,○\,b)=f(a)\,\bar○\,f(b)$)

同构等价

同构等价GG'关于它们的乘法同构,则有 G$$是群\Longleftrightarrow$$G'是群。

再次分析:(A={a,b,c}

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利用$x^3=1$的三个根对于普通乘法构成群。构造同构映射g

验证同构:是映射,单,满。只须验证同态方程。

由于含1时显然成立,只须验证$x_1x_1,x_1x_2,x_2x_2$三者的同态方程即可。

变换群

一个群的元素不一定是数

设有限集合A的阶为n(元素个数),则A上的所有变换n^n个,而A上的一 一变换n!种。

S={A上所有变换},则可以定义S上的乘法(即复合映射)。

易验证,S乘法封闭,结合($(\tau\lambda)\mu=\tau(\lambda\mu)$),有单位元(恒等变换)。

遗憾的是,对于任意的变换$\tau$(非一 一变换)来说,不一定存在逆。

S不构成群,但S的若干一 一变换(含恒等变换)作成的子群G却构成群。

变换群一个集合A的若干一 一变换(含恒等变换)根据上述乘法作成群G,称为变换群。

定理:一个集上的所有一 一变换作成变换群

当然,更少的一 一变换也可能作成群。如平面上的(定点)旋转变换集。(类似地,平移变换集)

尽管以上的两个例子都是交换群。
但,变换群一般不是交换群。(非交换群)
(比如,上述定点旋转+平移变换集。考虑点[0,0],定点旋转绕原点顺旋90度,平移向右1个单位,显然不交换。还比如,可逆线性变换(矩阵)作成一个变换群,也是不可交换的。推广而言,一个集上的所有一 一变换作成的群是不可交换的)

变换同构

变换同构任何一个群都和一个变换群同构

证明思路:构造元素到变换的同构映射。(太精妙了orz

$\tau_x$是满射(逆)、单射(消去律),因而是一 一变换。

令:$G’=\{\tau_a,\tau_b,\tau_c..\}$。(一 一变换集)

显然,G'乘法封闭、结合、有单位元(恒等映射),有逆。则G'作成群。

也可以根据映射$\text{f}:x\longrightarrow \tau_x$是同态满射推出。(上面的(F)式)

实在是太厉害辣。。相当于取运算表中的每一行/列,然后就生成了一个新的同构群。。。orz

一个群的元素竟然等价于有它参与的规律???

这是不是意味着一个群的运算表的自由度等于群的

比如之前的这个:

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实际上我们只需要任意确定三个元素,就能唯一地确定这张运算表。如下:(根据恒等变换+消去律+封闭+变换/置换同构

如果选成同一行元素,那就是一个置换了。(以上封闭、消去律都已成立)
那么想要保证生成有限群的运算表,只须考虑置换与结合律的充要条件了。

*推论:$\tau_x$是一个线性变换。

证明思路:(1)可乘,$\tau_x(kg)=k\tau_x(g)$;(2)叠加,$\tau_x(g_1+g_2)=\tau_x(g_1)+\tau_x(g_2)$。(以后定义加法

置换群

置换:一个有限集合的一 一变换叫做置换。

置换群一个有限集合A的若干置换(含恒等变换)作成群G,称为置换群。

对称群:一个包含n个元的集合的全体置换作成的群,称为n次对称群。记作$S_n$。

n次对称群的阶是n!

例:可以生成一个(1,2,3)的对称群$S_3$,共有6个元素

则可验证$S_3$不是交换群:

$S_3$可以说是最小的有限非交换群。
一个有限非交换群至少要有6个元。

利用分治法(前后区间内的两个置换互不影响),可以规定更为简洁的置换表示方法。

k-循环置换

k-循环置换:$S_n$的一个循环映射的置换,将当前元映射为下一元。

$k\le n$。可以有k种等效的表示方法。

例:

一个任意的置换总可以写成若干个互斥的循环置换的乘积
(归纳法可证。恒等置换显然成立,假设对于最多变动r-1个元时成立,找一个循环映射即可。必然能找到。)

$S_3$的循环置换表示为:(分不成多个区间(会退化),因此不出现乘积)

$S_4$的循环置换表示为:(可分成2-2区间,区间不需要物理连续)

进一步,可对$S_5$作分类:

置换同构

置换同构任何一个有限群都和一个置换群同构

根据变换同构定理可类似证。

循环群

尽管研究清楚变换群,等于研究清楚了全体抽象群;研究清楚置换群,等于研究清楚了全体有限群。但经验告诉我们,研究变换群或置换群并不比研究抽象群容易。

研究群的最大目的就是要把所有的抽象群都找出来。就是要看一看,一个有多少个互相不同构的群存在。

一个群G会不会某个固定的元a的乘方?(指群乘法意义下的乘方)

引例1G是所有整数的集合,对于普通加法构成一个群(整数加群)。则

循环群:若群G可有某个固定元a的乘方生成,则称G为循环群。a称为G的一个生成元。

生成元不一定唯一。(引例1中有2个生成元:1-1
除非G={e},否则单位元不作为生成元。

一个循环群一定是交换群。

引例2G包含模nn个剩余类,规定G上的加法。

可证G上加法是二元运算,G结合,有单位元(0)、逆,生成元([1],[-1]等)。故G作成群,称为n的剩余类加群

n=5时(模5剩余类),可以证明[1],[2],[3],[4]都可以做生成元。
n=6时(模6剩余类),可以证明只有[1],[-1]可以做生成元。

推广而言,生成元有的时候只有2个,有的时候全都是。。

循环同构

循环同构:令Ga生成的循环群,

  • a的阶无穷,则G整数加群同构
  • a的阶为n,则Gn的剩余类加群同构

证明思路:构造同构映射(双射$(a^k\longrightarrow [k])$+同态方程)。

至此,我们已经清晰地获得了循环群的同构类每一类的结构

这样,我们对于循环群的存在问题、数量问题、构造问题都已能解答,循环群已完全在我们的掌握之中。这一节是近世代数的研究的一个缩影。在近世代数中,我们研究一种代数系统就是研究这一种系统的存在问题, 数量问题和构造问题。假如对这三个问题获得了完美的解答,我们的目的就算达到了。

子群

在群论中像循环群那样完全解决了的群只有很少的几种。但我们往往可可以通过群的子集来推测整个群的性质

子群:若群G的子集H关于G的乘法作成群,则称HG的子群。

例:H1={e}H2={G},称为G的平凡子群。H={(1),(12)}是$S_3$的非平凡子群。

子群检验(一):H作成群的充要条件是

  • $a,b\in H\Longrightarrow ab\in H$(封闭)
  • $a\in H\Longrightarrow a^{-1}\in H$(任意有逆)

证明思路:结合律可根据G同态H,单位元可根据上述两条性质。

推论:H的单位元、逆对应于G

子群检验(二):H作成群的充要条件是

  • $a,b\in H\Longrightarrow ab^{\color{red}{-1} }\in H$(双封闭)

证明思路:代入各种情况即可。

有限子群检验(三):有限H作成群的充要条件是

  • $a,b\in H\Longrightarrow ab\in H$(封闭)

证明思路:利用有限群的第二定义。

利用上述的检验可以提取G的若干元素(记为S),并快速生成一个群H。称HS生成的子群,记为(S)

可证HS的群闭包,是包含S的最小子群。

假如只取一个元a,那么(S)=(a)是一个循环群。

陪集

利用群G的一个子群H来作一个G分类

引例:令H'={hn}n为倍数),则hn+(-kn)=(h-k)n,根据子群检验,故H是整数加群G的子群。

定义G等价关系~

  • a ~ b,当且仅当$ab^{-1}\in H$。

证明思路:(1)自反 (单位元);(2)对称 (逆);(3)传递 (利用封闭性)。

尽管H构成子群,但仅靠上述等价关系,ab不一定属于H

同时可证:取$h\in H$,则ha ~ a。(又因为ha取自G中子集,故这是G上的等价关系)

由于$ab^{-1}$实际就是原代数运算的一个反运算(比如加变为减,乘变为除),所以这样分出的类是一个使得反运算总落在H的子集。

右陪集:上述等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集。包含元a的右陪集用符号Ha表示。

右陪集中包含了G中恰好可以写成ha形式的元。

例:令G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}H={(1),(12)}

那么有H(1)=H(12)={(1),(12)}H(13)=H(123)={(13),(123)}H(23)=H(132)={(23),(132)}

任何一个右陪集元素都等于子群的元素个数(构造双射$“h\longrightarrow ha”$)。陪集的个数为$\frac{|G|}{|H|}$(称为指数)。

可以看出,一个群的元素总是能按照一个子群分成若干个相同大小的同类子集。

推论:一个有限群G的任一个元a的阶n都能整除G的阶。

例:对S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}。六个元的阶是1、2或3,都整除6。这样就可以生成1、2、3阶的循环子群辣。比如H={(1),123,132}是3阶子群。

左陪集a ~ b,当且仅当$b^{-1}a\in H’$。此等价关系~所决定的类叫做子群H的左陪集。记为aH

左陪集中包含了G中恰好可以写成ah形式的元。

同样地:令G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}H={(1),(12)}

则左陪集为:H(1)=H(12)={(1),(12)}H(13)=H(123)={(13),(132)}H(23)=H(132)={(23),(123)}。与右陪集并不相同。(因为一个群的乘法不一定适合交换律)

但是,一个子群的左陪集的个数与右陪集相同,要么有限要么无限大(构造双射$“Ha\longrightarrow a^{-1}H”$)。

不变子群

不变子群:若子群N的左右陪集等同($\forall a\in G,Na=aN$),则N称为G的不变子群。

例:令G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}N={(1),(123),(132)}

则容易验证N(1)=(1)NN(12)=(12)N……因而NG的不变子群。

平凡子群G{e}一定是不变子群。

G是交换群,则任意子群NG的不变子群。(显然,Na=aN

不变闭包:若N刚好包含G中所有满足 $\forall a,$na=ann,则NG的不变子群,称为中心

证明思路:只须证明N是子群,利用子群检验:封闭+任意有逆

通过对G的一系列子集做乘法运算$S_1S_2S_3…S_m$,可以得到一个积空间,对应的集合称为这些子集的乘积

不变子群检验(一):子群NG的不变子群的充要条件是

证明思路:利用结合律,相当于不变子群定义Na=aN的变形式。

不变子群检验(二):子群NG的不变子群的充要条件是

证明思路:充分性显然;必要性,利用双包含逆元

测试一个群是不是不变子群,用(二)比较方便。

商群

记$S=\{aN,bN,cN,…\}$是G中不变子群N陪集的集合

则法则 $(xN)(yN)=(xy)N$ 作成S的乘法。

证明思路:$(xN)(yN)=x(Ny)N=x(yN)N=(xy)(NN)=(xy)N$。(N是群,显然NN=N

商群:群G的一个不变子群H的陪集关于上述乘法作成群,称为商群,记为G/N

由子群部分得到的结论,当G是有限群时,$\cfrac{G的阶}{N的阶}=G/N的阶$。

商同态:一个群G与它的每一个商群G/N同态。

核同构

环、域

因子分解

扩域