思维之海

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数学的思维方式与创新

数学的思维方式与创新由北京大学丘维声教授主讲。本文主要根据讲课内容整理。

References

数学的思维方式与创新,qiuws@pku.edu.cn

普林斯顿数学指南

【数学的思维方式与创新】共88集——北京大学丘维声教授

高等代数(上册下册),学习指导(上册下册

数学发展史上若干重大创新

微积分的创立和完备化

1666年,牛顿和莱布尼兹创立微积分。

17世纪,开始天体运动和地球上物体运动的研究。

  • 如:$s=5t^2$,求每一时刻物体的瞬时速度

观察客观现象:

忽略含有$\Delta t$的项(牛顿假设),得到

矛盾:$\Delta t\neq0$。(除以0无意义)

实际上并不矛盾,因为$\color{red}{\Delta s}$也是趋于0的。只有分子被给定的情况,“除以0无意义”的推论才恒成立(如果分子是一个变量,则情况会不同)。这引出了极限理论。

当引入微积分体系之后,除以0也可能有意义了,比如:$\cfrac{0}{0}$。

当$\Delta t \longrightarrow 0$却不等于0时,如何处理这样的无限过程呢?

$\left|\frac{\Delta s}{\Delta t}-10t\right|$可以无限小。

柯西从中观察,并抽象出了极限的概念。

设函数f(x),在x_0附近有定义,但在x_0处可以没有定义(去心邻域)。

若有一个常数c,使得当x趋近于x_0但不等于x_0的时候,有$\left|f(x)-C\right|$可以任意小。

则把常数c称为当x趋近于x_0时f(x)的极限

上述概念还是过于口语化,威尔斯特拉斯对上述定义进行了规范。

非欧几里得几何的诞生和实现

欧几里得——《几何原本》。

从定义和公理出发,进行逻辑推理,将几何知识系统化、严密化。

平行公设:一条直线与两条直线相交,该直线一侧同旁内角的和小于180度,则两条直线无限延长后一定相交。

高斯。。

罗布切夫斯基几何:过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。【伪球面,球面的一部分】

在双曲几何的模型上完整地实现。

黎曼几何:一条平行的直线也没有。【球面】

伽罗瓦理论和代数学的变革

公元前1700年,巴比伦人,一元二次方程求根公式

1500年左右,三次、四次方程也可以用根式求解

拉格朗日,……,阿贝尔

伽罗瓦,1829——1831年