思维之海

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普遍数学

普遍数学,是指对数学整体思维的掌控,从宏观的角度中看。尽量超脱证算的细节,从结构和理念的层次上认识数学。本文主要是在阅读《普林斯顿数学指南(1-3卷)》的过程中所做的摘录和思考,或者至少,暂时是。

References

《普林斯顿数学指南(1-3卷)》

数学总览

代数、几何、分析

代数:注重符号操作。

几何:注重图形可视化。

分析:注重估计/缩放技巧。

代数、几何、分析是贯穿于许多不同数学分支的思维方式。比如,代数拓扑学几乎是完全代数的,但其性质却是几何的,而其研究的对象”拓扑空间“,又是分析的一部分。

数学的主要分支

代数

代数的主要研究对象包括数系多项式,以及向量空间等代数结构。

代数的研究方向可以粗分为具体和一般性研究。具体研究比如对五次方程的不可解性的研究,一般性研究比如有限单群的分类。一种是对数学工具的应用,一种是对数学工具的理解。

数论

数论研究正整数集

经典数论(代数数论)可以认为是对代数加上约束(整数解)以后的一个产物。然而现代数论(解析数论)则来源于对素数的研究,在探索中发掘和理解了大量全新的结构,而这些结构自成了有价值的研究对象。

几何

几何学研究流形

对流形的不同约束形成了几何的不同分支。比如,拓扑学不关心点的相对距离,微分拓扑要求流形的光滑性。如果对点间的距离有要求或者附加了流形上的辅助构造,则可以形成黎曼度量里奇流等。

代数几何

代数几何研究由多项式定义的流形

代数几何因为完全专注于多项式而具有代数性,但从解的角度是流形来看,它又具有几何特征。

代数几何的一个重要部分是对奇异性的研究:一个多项式方程组的解集通常是光滑的流形,但也可能出现奇点(比如,圆锥的顶点)。

代数几何与数论、数学物理等有重要的联系。

分析

分析是一个比较复合型的分支,在许多领域都有它的影子。

偏微分方程

无穷维空间

动力学

逻辑

组合学

计算科学

概率论

数学物理