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计算共形几何

计算共形几何课程,由顾险峰老师教授。

References

教材:《计算共形几何(理论篇)》

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计算共形几何暑假网上课程

计算共形几何暑假网上课程(2)

课程信息

以下内容摘自:计算共形几何暑假网上课程(2)

时间:七月四号到九月四号,北京时间每周六、周日早晨9:00-10:30AM

链接:Zoom Webinar ID:871 6057 8498

密码:156302

直播:B站直播地址 online.conformalgeometry.org

网页http://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/lectures/2020/

主办:清华大学丘成桐数学科学中心,北京雁栖湖应用数学研究院

参加:对全世界的听众免费开放

计算共形几何简介

http://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/lectures/2020/2020_CCG_Lecture_0.pdf

在课程中主要强调三种几何偏微分方程方法:

调和映照(Harmonic Map):我们用非线性热流的方法计算调和映照,这给出了亏格为0封闭曲面的单值化映射,也用于计算曲面的全纯二次微分。

霍奇分解(Hodge Decomposition):我们用霍奇分解方法计算曲面的调和微分形式,进而计算曲面的全纯微分,由此可以计算具有复杂拓扑曲面的共形不变量。

里奇流(Ricci Flow):我们建立完备的离散曲面里奇流理论,证明了存在性、唯一性和离散解到连续解的收敛性。这种方法可以用于计算任意拓扑曲面单值化定理。


通过保角变换我们的确可以实现降维,把三维变成二维。极大地简化了计算问题。在微分几何和共形几何中,有一个非常深刻的定理,叫大一统定理。(大一统定理:克萊因、龐家萊單值化:任意度量曲面都可以共形地映射到球面、歐式平面或者雙曲曲面上。)

根据这个定理,所有的曲面都可以在保角的变换下变成三种标准几何中的一种或者变成球面或者变成欧式空间或者变成双曲空间。