理想碰撞问题

Newtons_cradle_animation_book_2

引述

关于碰撞问题,可以说是一个经典物理学中已经被解释得通透的情景。

我将不注重讨论问题的细节,只记录一个很久之前就在脑海中成型的想法。

(以下考虑理想弹性碰撞)

由动能和动量两大守恒原理,得

很容易得到

两式是对称的。

等价变换

上述求解公式可以等价变换

  • 记$M$为系统质量
  • 记$\lambda_i为m_i$的相对质量系数(无量纲)
  • 记$\overline{v_i}$为相对速度

最终我们得到了新的公式表达

$(F)$式的含义可以表述为


拓展

注意

  • 两物体的相对速度和为0(矢量)
  • 两物体的相对质量系数和为2
  • 根据上面的恒等关系,你只需要先求一个物体的相对量,就能快速得到另一个物体的相对量

由于$0<\lambda_i\leq2,\overline{v_i}\geq0$,碰撞的速度变化总在相对速度的2倍以内。

$\lambda_i\overline{v_i}$表征了物体相互之间的速度影响项。

应用

Imgur

  • 求A的相对速度为+3,相对质量系数为2*2/3=4/3。

    • 快速得到:B的相对速度为-3,相对质量系数为2-4/3=2/3。
  • 代入公式:

  • 验证:结果显然满足动能、动量守恒


猜想:虚体运动

文章最前面的配图是牛顿球

Newtons_cradle_animation_book_2

这实际上是一个能量的传递过程。

那么问题来了。

虚体运动猜想】:

  • 是否可以认为有一个虚拟的球(能量)在这些表面现象的背后作用呢

Newton

Source: CSS牛顿摆
绘图技术太渣,意会一下就好,大概是一个虚拟的球先附着在左边的球上,碰撞发生以后,它脱离实体潜运行最右侧的球上,然后继续附着,周而复始)

这样的话,相对物质实体,能量就是在场中运行的虚体了。

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